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指数の拡張１

Stage1 Stage1-14 指数関数・対数関数

こんにちは！
今回は、中学数学では扱うことのなかった {2^0} や {2^{-1}} を考えてみます。
指数の意味を考えれば、{2^{-1}} は「{2} を {-1} 回かける」という意味になりそうですが…さて、どういうことなのでしょうか？？
さっそく始めましょう！

今回の目標

{2^0} や {2^{-1}} などの値を求められる

今回の問題

今回はこの問題を解いてみましょう。
★解けそうな人はチャレンジしてみましょう！
★初めて学ぶ人、知識があやふやな人は下の「講義」を読んでからチャレンジしてみましょう！

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講義 

それでは、問題を解くための知識を解説していきます！

指数の拡張とは

今までは、指数は {1,2,3,\cdots} という「自然数」しか考えてきませんでしたが、今回は「{2^0}」や「{2^{-1}}」などのように、指数を「整数」まで拡張します。

ところが、「2を0回かける」や「2を {-1} 回かける」という意味で考えてもよくわかりません。そこで、「何回かける」という意味はいったん忘れて、数学的に矛盾がないように、「{2^0}」や「{2^{-1}}」の値を決めてみましょう。

 

指数の拡張

上の図を見てください。

まず、{ 2^1=2　,　2^2=4　,　2^3=8 } となるのは良いでしょう。このとき

　　{ 2^1 } ー(2倍)→ {2^2} ー(2倍)→ {2^3}

と値が2倍ずつ大きくなっていくところに注目すると

　　{2^0} ー(2倍)→ {2^1}

となってくれたらいいのにな、と考えるのが自然です。そこで

　　{2^0=1}

と決めることにしましょう。

同じように考えると

　　{2^{-1}} ー(2倍)→ {2^0}

となって欲しいので

　　{ 2^{-1} = \dfrac{1}{2} }

さらに

　　{2^{-3}} ー(2倍)→ {2^{-2}} ー(2倍)→ {2^{-1}}

となって欲しいので

　　{ 2^{-2} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2} }

　　{ 2^{-3} = \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} }

と決めることにしましょう。

 

以上まとめると次のようになります。

 

今回の問題（再掲）

では改めて、今回の問題を掲載しておきます。
自分の力で解いてから、下の解答・解説を読んでみましょう！

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解答

　(1) { 4^0 = 1 \cdots } (答)

　(2) { 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \cdots } (答)

　(3) { (-5)^{-3} = \dfrac{1}{(-5)^3} = - \dfrac{1}{125} \cdots } (答)

　(4) { 0.2^{-2} = \dfrac{1}{0.2^2} = \dfrac{1}{0.04} = \dfrac{100}{4} = 25 \cdots } (答)

　(4) (別解) { 0.2^{-2} = \left( \dfrac{1}{5} \right)^{-2} = 5^2 = 25 \cdots} (答)

解説

(4) (別解)では、次の事実を使っています。結構使えるので、覚えておくことをオススメします。

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今回はここまでです。
最後までお読みいただきありがとうございました！

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