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指数関数の最大・最小（指数関数）

Stage2 Stage2-14 指数関数・対数関数

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「指数関数の最大・最小」です！

 

「指数関数の最大・最小」の解法のPOINT

例えば、{ y = (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 } という関数を考えてみましょう。

一見すると複雑な形をしていますが、よくみると「{2^x}」のカタマリに気づくはずです。そして、例えば {2^x = t} とおくと、この関数は { y=t^2-4t+1} となり、{t} の2次関数になります。2次関数であれば、平方完成して、グラフを描いて、{\cdots} のように処理することができるようになります。

このように、一見すると複雑に見えるものも、おきかえを利用することで簡単な形に直すことができる、ということが1つ目のPOINTです。

 

ただし、おきかえをしたときに注意しなければならないことがあります。

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いま、{ 2^x = t } とおきかえをしました。ここで、{ t = 2^x } のグラフ（上図）を見ると、グラフは常に {x} 軸よりも上側にあります。ということは、{t} は必ず { t \gt 0 } になることがわかります。つまり、この関数 { y = t^2-4t+1 } は、 { t \gt 0 } の範囲で考えなければならない、ということになります。

このように、おきかえをしたときには、新しい文字（この場合は {t} ）がどのような範囲の値を取るのかを確認する必要があります（これを「変域チェック」と呼ぶことにしましょう）。これが2つ目のPOINTです。

 

まとめると、次のようになります。 

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例題

それでは、例題を解いてみましょう（自分で解けそうな人はやってみましょう）。

問題

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解答

{ y = 4^x - 2^{x+1 } = (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x }

ここで { 2^x = t } とおくと、{ t \gt 0 }

このとき

{ y = t^2 - 2t = ( t -1 )^2 - 1 }

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ここで

{ t = 1 \Longleftrightarrow 2^x = 1 }

∴ { x = 0 }

よって

最小値 {-1} ( {x=0} のとき) {\cdots}(答)

 

解説

{ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 } と変形できます。この変形はよく出てくるのでサッと変形できるように練習しておきましょう。

また、最小となるのは確かに { t=1 } のときですが、答えは「 {x=\cdots} のとき」と書かなければなりません。 ですから、{ 2^x = t } の関係から {x} の値を求めます。{t} のまま答えとしないよう気をつけましょう。

 

今回はここまでです。

最後までお読みいただきありがとうございました！