関数の増減

こんにちは！
数学の部屋のうちやまです。
今回のテーマは「関数の増減」です！

今回の問題
講義
今回の問題（再掲）
解答・解説

今回の問題

今回はこの問題に挑戦です！

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講義

それでは、問題を解くために必要なコトを解説していきます！

今回の目標は、例えば

　　 ${ y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 }$

のような、今まで見たことのない関数のグラフを描くことです。

もちろん

　 ${ x = 1 }$ のとき ${ y = 5 }$

　 ${ x = 2 }$ のとき ${ y = 3 }$

　　　・・・

と調べて点をとり、それらを線でつなげればグラフは描けますが、少し大変です。今回はもっと簡単に、グラフの「大ざっぱな形」を描く方法を考えてみましょう。

グラフの「大ざっぱな形」とは、「グラフがいつ上がっていつ下がるのか」ということ。言い換えると「関数の値がいつ増加していつ減少するのか」ということです。では、それらを微分法の知識を使って考えてみましょう。

導関数の講義で学習したように、導関数 ${ f'(x)}$ の図形的イメージは「接線の傾き」でした。そこで、接線の傾きに注目してみます。例えば、放物線で考えてみましょう。

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まず、関数 ${f(x)}$ の値が増加している部分の接線の傾きに注目すると、傾きは正であることがわかります。つまり、 ${ f'(x) \gt 0}$ ということです。従って

関数 ${ f(x) }$ の値が増加している（グラフが上がっている）とき、 ${ f'(x) \gt 0 }$ となる

といえそうです。

次に、関数 ${f(x)}$ の値が減少している部分の接線の傾きは負、つまり ${ f'(x) \lt 0 }$ ということですので

関数 ${f(x)}$ の値は減少している（グラフは下がっている）とき、 ${ f'(x) \lt 0 }$ となる

といえそうです。

さらに、関数 ${f(x)}$ の値が一定になる部分（減少から増加に変わる部分）の接線の傾きは０、つまり ${f'(x)=0 }$ ということですので

関数 ${ f(x) }$ の値が一定になるとき、 ${ f'(x) = 0 }$ となる

といえそうです。

このように、 ${f'(x)}$ の符号を調べれば関数 ${ f(x)}$ の値の増加・減少の様子がわかる、ということです。

グラフの描き方

では、今の話をベースにして、先ほどの関数 ${ y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 }$ のグラフを描いてみましょう。

グラフは次の３つのStepで描くことができます。

１つずつ、詳しくみていきましょう。

Step1： ${f'(x)=0}$ となる ${x}$ を求める

${f'(x)}$ の符号で増加・減少の様子がわかるのですから、まず ${f'(x)}$ を求めるのは自然なことですね。

今回は ${ f(x) = x^3 -6x^2 + 9x + 1 }$ とおくと

${ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 }$

${ = 3(x^2-4x+3 ) }$

${ = 3(x-1)(x-3) }$

となります（因数分解した理由はこの後すぐにわかります）。

そして、増加と減少が切り替わる部分を求めるために ${ f'(x) = 0 }$ を解きます。

今回は ${f'(x) = 0 }$ すなわち ${ 3(x-1)(x-3) = 0 }$ より ${ x = 1 , 3 }$ です。あらかじめ因数分解しておいたので、ラクに解くことができました。

Step2：増減表をかく

次に、関数の値の増加・減少の様子を、「増減表」と呼ばれる表にまとめます。

増減表は３行の表で、１行目から順に「 ${x}$ 」「 ${f'(x)}$ 」「 ${f(x)}$ 」とかきます。

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それでは１行目から順に説明していきます！

■１行目： ${ f'(x) = 0 }$ となる ${x}$ をかく

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１行目は、Step1で求めた ${x}$ 、つまり ${f'(x) = 0 }$ となる ${x}$ をかきます。今回は ${ x = 1 , 3 }$ でしたので、小さい順に ${1}$ と ${3}$ をかきます。

■２行目： ${f'(x)}$ の符号をかく

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２行目は、 ${ f'(x) }$ の符号を「０」「＋」「ー」でかきます。

今回はまず、 ${ x = 1 , 3 }$ のときは ${ f'(x) = 0 }$ でしたので、２行目の ${ x = 1 }$ と ${ x = 3 }$ に対応するところには「0」とかきます。

次に「・・・」で書かれている部分ですが、具体的な値を代入して考えるとわかりやすいです。

例えば ${x=1}$ より小さい部分は、 ${ x = 0 }$ を ${ f'(x) }$ に代入すると ${ f'(0) = 9 \gt 0 }$ となるので「＋」をかきます。同じように、 ${x=1}$ と ${ x=3}$ の間の部分は ${x=2}$ を代入して ${ f'(2) = -2 \lt 0 }$ なので「ー」、 ${ x = 3}$ より大きい部分は ${ x = 4 }$ を代入して ${ f'(4) = 9 \gt 0 }$ なので「＋」をかきます。