２重根号（数と式）【数学の部屋｜高校数学の解説】

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「２重根号」です！

２重根号とは？
２重根号の外し方
例題
公式の証明

２重根号とは？

【図１】を見てください。 ${ \sqrt{ 5 + 2\sqrt{6}} }$ という式がありますね。この式のように、ルートの中に再びルートがあるものを２重根号（にじゅうこんごう）といいます。

そして、２重根号は ${ \sqrt{ 5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} }$ のように、外側のルートを外すことができます（これを２重根号を外すということにしましょう）。

それでは、どのようにして２重根号を外すのか、具体的に見ていくことにしましょう。

２重根号の外し方

f:id:s-uchiyama:20181012223308j:plain — 図２

【図２】を見てください。この公式を使えば、２重根号を外すことが出来ます。この後に具体的な例で使い方を紹介していきますが、簡単に説明しておくと、 ${ \sqrt{ 〇 \pm 2 \sqrt{△} } }$ という２重根号は、「和が〇、積が△となる２つの数」を探して、それらを「大きい方、小さい方」の順にルートの中に当てはめることで外すことが出来ます。

例題

それでは例題を解いてみましょう。自力で解けそうな人はやってみてください。

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例 (1) の解説

f:id:s-uchiyama:20181012223734j:plain — 図３

【図３】を見てください。まず、公式によれば「和が ${5}$ 、積が ${6}$ となる２つの数」を探せばよく、「 ${3}$ と ${2}$ 」が見つかります。次に、 ${3}$ (大きい方)、 ${2}$ (小さい方) の順番にルートの中に当てはめれば２重根号が外れます。理解できましたか？

例 (2) の解説

f:id:s-uchiyama:20181014202817j:plain — 図４

【図４】を見てください。(1)と同じように考えると、「和が ${6}$ 、積が ${8}$ となる２つの数」を探せばよく、「 ${ 4 }$ と ${2}$ 」が見つかります。次に、大きい方から順番にルートの中に当てはめると２重根号が外れます。もちろん、 ${ \sqrt{4} = 2 }$ ですね！

例 (3) の解説

f:id:s-uchiyama:20181014203147j:plain — 図５

【図５】を見てください。(3)は「和が ${7}$ 、積が ${40}$ となる２つの数」を探す、と考えてはいけません！公式をよく見てください。ルートの前に「 ${2}$ 」がついていないと、この公式は使えません！そこで、この場合は ${ \sqrt{40} = 2\sqrt{10} }$ と変形することで、公式が使える形に変形します。

例 (4) の解説

f:id:s-uchiyama:20181014203622j:plain — 図６

【図６】を見てください。(4)はルートの前に「 ${6}$ 」がついています。ルートの前は「 ${2}$ 」でなければならないので、少し変わっていますが、 ${ 6\sqrt{3} = 2 \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{27} }$ と変形して、ルートの前を「 ${2}$ 」にします。

例 (5) の解説

f:id:s-uchiyama:20181014203834j:plain — 図７

【図７】を見てください。(5)も同じように、ルートの前が「 ${2}$ 」になっていません。ところが、(3)や(4)のような変形ができません。このときは、無理やり２倍してルートの前に「 ${2}$ 」を作ります。もちろん、勝手に２倍してしまっては式の意味が変わってしまいますので、２で割っておきます( ${ 1 = \dfrac{2}{2} }$ と表せるのと同じです)。最後に有理化しておくのを忘れずに。

以上で例題の解説を終わります。何度も繰り返し解いてマスターしてください。ちなみに、この例題に出てきたものが２重根号の外し方の全パターンになりますので、これ以外の２重根号は外すことは出来ません。

公式の証明

f:id:s-uchiyama:20181015200436j:plain — 図８

最後に、公式の証明を紹介します。【図８】を見てください。公式を式で表すと、「 ${ a \gt b}$ のとき ${ \sqrt{ a+b \pm 2\sqrt{ab} } = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} }$ 」となりますので、これを証明します。

f:id:s-uchiyama:20181015200327j:plain — 図９

【図９】を見てください。式を追っていけば理解できると思いますが、１つだけ補足しておきます。

最後に両辺のルートをとる部分がありますが、右辺は正確には ${ | \sqrt{a} \pm \sqrt{b} | }$ と絶対値がつきます。 ${ \sqrt{a} + \sqrt{b} }$ は常に正の値ですが、 ${ \sqrt{a}- \sqrt{b} }$ は ${a}$ と ${b}$ の大小によって正にも負にもなります。しかし、 ${ a \gt b }$ とすることで、絶対値の中身が常に正になりますので絶対値を外すことができ、扱いやすくなります。これが「大きい方、小さい方の順番に当てはめる」ことの理由です。

今回はここまでです。

最後までお読みいただきありがとうございました！