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小数首位（対数関数）

Stage1 Stage1-14 指数関数・対数関数

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「小数首位」です！

 

「小数首位」の解法のPOINT

桁数問題と似た問題に「小数首位」の問題があります。小数首位とは「小数第何位に初めて0でない数字が現れるか」というもので、例えば { 0.0012 } という小数は、小数第3位に初めて0でない数字「1」が現れます。このとき、「小数首位は第3位」といいます。同じように { 0.0000045 } ならば「小数首位は第6位」といいます。

 

では、{ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{30} } のときはどうでしょうか。{ \dfrac{1}{3} } を30回かけるのは大変そうです。そこで、小数首位の問題についても、桁数問題と同じように考えてみることにしましょう。

 

例えば、ある数 {A} の小数首位が第 {3} 位であったとしましょう。このとき

{ 0.001 \leqq A \lt 0.01 }

∴ { 10^{-3} \leqq A \lt 10^{-2} }

が成り立ちます。 

 

同じように

{A} の小数首位が第 {4} 位なら

{ 0.0001 \leqq A \lt 0.001 }

∴ { 10^{-4} \leqq A \lt 10^{-3} }

が成り立つので

 

{A} の小数首位が第 {n} 位なら

{ 10^{-n} \leqq A \lt 10^{-(n-1)}}

が成り立ちます。

 

すると、例えば { \left( \dfrac{1}{3} \right)^{30}} の小数首位が第 {n} 位なら

{ 10^{-n} \leqq \left( \dfrac{1}{3} \right)^{30} \lt 10^{-(n-1)} \cdots }①

が成り立つので、①を満たす {n} を求めるために、①の各辺に { \log_{10}} をくっつけて

{ \log_{10}{10^{-n}} \leqq \log_{10}{\left( \dfrac{1}{3} \right)^{30} } \lt \log_{10}{10^{-(n-1)}}  }

∴ { -n \leqq \log_{10}{ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{30}} \lt -(n-1) }

が成り立ちます。

よって、後は{ \log_{10}{ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{30}}} の値が分かれば {n} が求まり、小数首位がわかります（具体的には下の例題で確認してください）。 

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上の「解法のPOINT」を踏まえた上で、「{A} の小数首位の求め方」をまとめると

① { \log_{10}{A} } の値を求める

② { -n \leqq \log_{10}{A} \lt -(n-1) } の形で表す

③ {n} が求める小数首位

となります。

 

例題

それでは、例題を解いてみましょう（自分で解けそうな人はやってみましょう）。

問題

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解答

{ \log_{10}{ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{30} } }

{ = 30 \log_{10}{ \dfrac{1}{3} }}

{ = 30 \log_{10}{ 3^{-1} } }

{ = -30 \log_{10}{3} }

{ = -30 \times 0.4771 }

{ = - 14.313}

よって

{ -15 \lt \log_{10}{ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{30} \lt -14 }}

より

{ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{30} } は、小数第 {15} 位に初めて0でない数字が現れる {\cdots}(答)

 

今回はここまでです。

最後までお読みいただきありがとうございました！