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桁数問題（対数関数）

Stage1 Stage1-14 指数関数・対数関数

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「桁数問題」です！

 

「桁数問題」の解法のPOINT

 「{2^{100} } は何桁の数か」という問題を「桁数問題」といいます。

 

 

例えば、ある数 {A} が {3} 桁の数であったとしましょう。このとき

{ 100 \leqq A \lt 1000 }

∴ { 10^2 \leqq A \lt 10^3 }

が成り立ちます。

 

同じように

{ A } が {4} 桁の数なら

{ 1000 \leqq A \lt 10000 }

∴ { 10^3 \leqq A \lt 10^4 }

 

{ A } が {5} 桁の数なら

{ 10000 \leqq A \lt 100000 }

∴ { 10^4 \leqq A \lt 10^5 }

 

{ A } が {6} 桁の数なら

{ 100000 \leqq A \lt 1000000 }

∴ { 10^5 \leqq A \lt 10^6 }

が成り立つので

 

{ A } が { n } 桁の数なら

{ 10^{n-1} \leqq A \lt 10^n }

が成り立ちます。

 

すると、例えば { 2^{100} } が {n} 桁の数なら

{ 10^{n-1} \leqq 2^{100} \lt 10^n \cdots} ①

が成り立つので、①を満たす {n} を求めれば良いことになります。

 

さて、①を満たす {n} を求めたいのですが、指数の部分に {n} があるのでこのままでは考えにくいです。そこで、①の各辺に { \log_{10} } をくっつける（これを「各辺の常用対数をとる」という言い方をします）と

{ \log_{10}{10^{n-1} } \leqq \log_{10}{2^{100}} \lt \log_{10}{10^n} }

∴ { n-1 \leqq \log_{10}{2^{100}} \lt n }

が成り立ちます。

よって、後は { \log_{10}{2^{100}} } の値がわかれば、{n} が求まり、桁数がわかります（具体的には下の例題で確認してください）。

f:id:s-uchiyama:20181118210733j:plain

上の「解法のPOINT」を踏まえた上で、「{ A } の桁数の求め方」をまとめると

① { \log_{10}{A} } の値を求める

② { n-1 } ≦ { \log_{10}{A} \lt n } の形で表す

③ { n } が求める桁数

となります。

 

例題

それでは、例題を解いてみましょう（自分で解けそうな人はやってみましょう）。

問題

f:id:s-uchiyama:20181118210817j:plain

解答

{ \log_{10}{2^{100} } }

{ = 100 \log_{10}{2} }

{ = 100 \times 0.3010 }

{ = 30.1 }

よって

{ 30 \lt \log_{10}{2^{100}} \lt 31 }

より

{ 2^{100}} は {31} 桁の数 { \cdots}(答)

 

今回はここまでです。

最後までお読みいただきありがとうございました！