累乗根（指数関数）

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「累乗根」です！

累乗根とは
累乗根の性質
例題
- 問題
- 解答
- 解説

累乗根とは

累乗根（るいじょうこん）は、中学で学んだ平方根（へいほうこん）を拡張したものです。そこでまず、平方根について簡単に復習しておきましょう。

正方形の一辺の長さ

上図のように、面積が 4 と 3 の正方形の一辺の長さをそれぞれ求めてみることにしましょう。

まず、面積が 4 の正方形の一辺の長さは「2乗して 4 になる数」すなわち「 2 」であることはすぐにわかりますね。

この「2乗して 4 になる数」のことを「 4 の平方根」といいます。この場合、「 4 の平方根（の１つ）は 2 である」という言い方をします。

ちなみに、（の１つ）と書いたのは、2乗して 4 になる数は ${-2}$ もあるからです（ ${ (-2)^2 = 4 }$ ）。よって、正確には「 4 の平方根は ${2}$ と ${-2}$ である」が正しい言い方です。

次に、面積が 3 の正方形の一辺の長さは「2乗して 3 になる数」を考えればよいことがわかります。

この「2乗して 3 になる数」のことを「 3 の平方根」といいます。そして、「2乗して 3 になる数」は、新しい記号を使って ${ \sqrt{3} }$ と表されることは既に中学で学習済みのはずです。

つまりこの場合、「 3 の平方根（の１つ）は ${ \sqrt{3}}$ である」という言い方をします。

この場合も、2乗して 3 になる数は ${ - \sqrt{3} }$ もあるので、正確には「 3 の平方根は ${ \sqrt{3} }$ と ${ - \sqrt{3} }$ である」が正しい言い方です。

累乗根を理解する上では、平方根はこれくらい復習しておけば大丈夫でしょう。では、いよいよ累乗根を紹介します。

立方体の一辺の長さ

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今度は、体積が 8 と 7 の立方体の一辺の長さをそれぞれ求めてみることにしましょう。

先ほどと同じように考えれば、体積が 8 の立方体の一辺の長さは「3乗して 8 になる数」すなわち 2 であることがわかります。

この「3乗して 8 になる数」のことを「 8 の3乗根」といいます。この場合、「 8 の3乗根は 2 」という言い方をします。

さらに、体積が 7 の立方体の一辺の長さは「3乗して 7 になる数」を考えればよいことがわかります。

この「3乗して 7 になる数」のことを「 7 の3乗根」といいます。そして、「3乗して 7 になる数」を、平方根に似た新しい記号を使って ${ \sqrt[3]{7}}$ と表すことにするのです。つまりこの場合「 7 の3乗根は ${ \sqrt[3]{7}}$ 」という言い方をします。