指数の拡張２（指数関数）

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「指数の拡張２」です！

指数の拡張
例題
- 問題
- 解答
- 解説

指数の拡張

「指数の拡張１」では、指数を「自然数」から「整数」に拡張しました。今回は、さらに「有理数」まで拡張して、 ${ 2^{\frac{1}{2}}}$ や ${ 2^{\frac{2}{3} }}$ などを考えます。

まず ${2^{\frac{1}{2}}}$ を考えてみます。

「指数の拡張１」では

${2^1}$ ー(2倍)→ ${2^2}$ ー(2倍)→ ${2^3}$

と、隣り合う数の間に成り立つ関係を保たせるために ${2^0}$ や ${2^{-1}}$ などの値を決めました。そこで今回も、隣り合う数の間に成り立つ関係を考え、そこから ${2^{\frac{1}{2} }}$ の値を考えてみましょう。

上の図を見ると

${2^0}$ ー(？倍)→ ${ 2^{ \frac{1}{2}} }$ ー(？倍)→ ${2^1}$

となっています。

よって、「？」に入る数が分かれば、 ${ 2^{ \frac{1}{2}} }$ の値は決まります。

ここで

${2^0}$ ー(２倍)→ ${2^1}$

であることに注目すると、「？」には「2回かけて2となる数」つまり ${\sqrt{2}}$ が入ることが分かります。

よって

${ 2^{ \frac{1}{2}} = \sqrt{2} }$

と決めることにしましょう。

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同じように ${2^{\frac{1}{3}}}$ と ${2^{\frac{2}{3}}}$ を考えてみます。

上の図を見ると ${2^0}$ ー(？倍)→ ${ 2^{ \frac{1}{3}} }$ ー(？倍)→ ${ 2^{ \frac{2}{3}} }$ ー(？倍)→ ${2^1}$ となっています。ここで ${2^0}$ ー(２倍)→ ${2^1}$ であることに注目すると、「？」には「3回かけて2となる数」つまり ${\sqrt[3]{2}}$ が入ることが分かります。よって

${ 2^{ \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} }$

${ 2^{ \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2^2} }$

と決めることにしましょう。

以上まとめると次のようになります。

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この基本事項により、「分数乗」と「累乗根」が自由に行き来できるようになります。

さらに指数法則も、指数が有理数の範囲でも使えるようになります。

例題

それでは、この基本事項を使って例題を解いてみましょう（自分で解けそうな人はやってみましょう）。

問題

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解答

(1) $4^{\frac{1}{3}} \times 4^{\frac{1}{4}} \div 4^{\frac{1}{12}} = 4^{ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} }$

${ = 4^{ \frac{6}{12} } = 4^{\frac{1}{2} } = \sqrt{4} = 2 \cdots }$ (答)

(2) ${\displaystyle \left\{ \left( \frac{16}{9} \right)^{-\frac{3}{4}} \right\}^\frac{2}{3} = \left( \frac{16}{9} \right)^{ -\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}} }$