指数の大小比較（指数関数）

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「指数の大小比較」です！

「指数の大小比較」の解法のPOINT
例題
- 問題
- 解答
- 解説

「指数の大小比較」の解法のPOINT

「指数関数の性質」の復習

今回の内容に入る前に、「指数関数のグラフ」で学習した「指数関数の性質」を復習しておきましょう。

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指数関数 ${ y = a^x }$ のグラフは、 ${a}$ （これを「底（てい）」と呼ぶのでした）の値によって

　 ${ a \gt 1 }$ のときは増加

　 ${ 0 \lt a \lt 1 }$ のときは減少

となることから、上図のような性質が成り立つことを学習しました。

特に、底が ${0}$ と ${1}$ の間、すなわち ${ 0 \lt a \lt 1 }$ のときは、指数の大小と全体の大小が逆になることに注意が必要でした。覚えていますか？

「指数の大小比較」の考え方

この性質は、「 ${a^p}$ と ${a^q}$ の大小（全体の大小）」は、「 ${p}$ と ${ q }$ の大小（指数の大小）」で判断できる、ということができます。

そして、今回のテーマ「指数の大小比較」は、この性質を利用します。

例えば ${ 2^{5} }$ と ${ 2^{10}}$ の大小を比較するときに、それぞれの値を具体的に求める必要はありません。

底がどちらも ${2}$ でそろっているので、先ほどの性質を使えば「全体（ ${2^{5}}$ と ${2^{10}}$ ）の大小」は、「指数（ ${5}$ と ${10}$ ）の大小」で判断できます。

さらに、底は ${2}$ で ${1}$ より大きいので「指数の大小と全体の大小は同じ」つまり「指数が大きい方が全体も大きくなる」と言えます。

よって、 ${ 2^{10}}$ の方が大きいことがわかります（実際に値を求めてみると、 ${ 2^5 = 32 }$ 、 ${ 2^{10} = 1024 }$ なので、確かに ${ 2^{10}}$ の方が大きい）。

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同じように、 ${ \left( \dfrac{1}{2} \right) ^{5} }$ と ${ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{10} }$ の大小も、それぞれの値を具体的に求める必要はありません。

底がどちらも ${\dfrac{1}{2}}$ でそろっているので、「全体（ ${\left( \dfrac{1}{2} \right)^{5}}$ と ${ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{10}}$ ）の大小」は、「指数（ ${5}$ と ${10}$ ）の大小」で判断できます。

さらに、底は ${\dfrac{1}{2}}$ で ${0}$ と ${1}$ の間なので「指数の大小と全体の大小は逆」つまり「指数が小さい方が全体は大きくなる」と言えます。

よって、指数が小さい方、つまり ${ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5}}$ の方が大きいことがわかります。（実際に値を求めてみると、 ${ \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32} }$ 、 ${ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{10} = \dfrac{1}{1024} }$ なので、確かに ${ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5}}$ の方が大きい）。

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「指数の大小比較」の解法のPOINT

このように「指数の大小比較」の問題は、「底をそろえて指数の部分を比べる」ことで解くことが出来ます。

上の例は最初から底がそろっていましたが、もちろん底がそろっていない場合もあります。その場合は底をそろえることから始めましょう（詳しくは例題で確認しましょう）。

また、繰り返しになりますが、底が ${0}$ と ${1}$ の間のときは「指数の大小と全体の大小は逆になる」ので注意しましょう。

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例題

それでは、例題を解いてみましょう（自分で解けそうな人は挑戦してみましょう）。

問題

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解答

(1)

${ \sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} }$

${ \sqrt[4]{9} = 9^{\frac{1}{4}} = (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} }$

${ \sqrt[7]{27} = 27^{\frac{1}{7}} = (3^3)^{\frac{1}{7}} = 3^{\frac{3}{7}} }$

ここで ${ \frac{1}{3} \lt \frac{3}{7} \lt \frac{1}{2} }$ であり

底： ${ 3 \gt 1 }$ であるから

${ 3^{\frac{1}{3}} \lt 3^{\frac{3}{7}} \lt 3^{\frac{1}{2}} }$

∴ ${ \sqrt[3]{3} \lt \sqrt[7]{27} \lt \sqrt[4]{9} \cdots}$ (答)

(2)

${ \sqrt{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} }$

${ \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{3}} = \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right\}^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{3} } }$

${ \sqrt[4]{\frac{1}{8}} = \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{1}{4}} = \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right\}^{\frac{1}{4}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{3}{4} } }$