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指数方程式・不等式（指数関数）

Stage1 Stage1-14 指数関数・対数関数

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「指数方程式・不等式」です！

 

「指数方程式・不等式」の解法のPOINT

指数方程式の解き方

{ 2^x = 8 } や { 9^{x+1} = 27 } などのように、指数を含む方程式のことを「指数方程式」といいます。

{ 2^x = 8 } であれば、具体的に {x} に値を代入していくことで答えが { x = 3 } であることがわかると思いますが、{ 9^{x+1} = 27 } のように少し複雑になると、答えがすぐに求まりそうもないこともあります。

 

そこで、{ 8 = 2^3 } であることを利用して、{ 2^x = 8 } を { 2^x = 2^3 } と変形するとどうでしょうか。これならすぐに { x = 3 } であることがわかりますね。

同じように、 { 9^x = (3^2)^x=3^{2x}} と {27=3^3} であることを利用して、{ 9^x = 27 } を { 3^{2x} = 3^3 } と変形すると、{ 2x = 3 } つまり { x = \dfrac{3}{2} } であることがわかりますね。

 

つまり、両辺の底をそろえれば、指数の部分を比べることで解けるのです。

これは 

{ p = q \Longleftrightarrow a^p = a^q }

が成り立つことを利用しています。

 

指数不等式の解き方 

指数を含む不等式を解くためには、「指数の大小比較」と同じく次の性質を利用します。

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つまり、与えられた方程式や不等式の底をそろえ、指数の部分を比べることで解くことができます。何度も繰り返しますが、{ 0 \lt (底) \lt 1 } のときは注意しましょう。

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例題

それでは、例題を解いてみましょう（自分で解けそうな人はやってみましょう）。

問題

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解答

(1)

{ 3^{2x-1} = 243 }

{ 3^{2x-1} = 3^5 }

{ 2x-1 = 5 }

∴{ x = 3 \cdots }(答)

 

(2)

{ 8^x=4 }

{ 2^{3x} = 2^2 }

{ 3x=2 }

∴{ x = \frac{2}{3} \cdots }(答)

 

(3)

{ 2^x \lt 32 }

{ 2^x \lt 2^5 }

底：{ 2 \gt 1} より

{ x \lt 5 \cdots}(答)

 

(4)

{ \left( \frac{1}{3} \right)^{2x+1} \lt \left( \frac{1}{81}\right)^x}

{ \left( \frac{1}{3} \right)^{2x+1} \lt \left( \frac{1}{3}\right)^{4x}  }

底：{ 0 \lt \frac{1}{3} \lt 1 } より

{ 2x+1 \gt 4x}

∴ { x \lt \frac{1}{2} \cdots}(答) 

 

解説

(1) (2) の方程式では、底によらず

{ p = q \Longleftrightarrow a^p = a^q }

が成り立つので、例えば(1)で「底：{3 \gt 1 }より」という記述は不要です。

 

今回はここまでです。

最後までお読みいただきありがとうございました！