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対数の加法と減法（対数関数）

Stage1 Stage1-14 指数関数・対数関数

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「対数の加法と減法」です！

 

対数の加法と減法

今回は対数の足し算（加法）と引き算（減法）を学びましょう。底が同じ対数は、次の公式を利用して、足したり引いたりすることが出来ます。

f:id:s-uchiyama:20181109201957j:plain

④（加法）は「対数の足し算は真数のかけ算」

⑤（減法）は「対数の引き算は真数の割り算」

と覚えておくとよいでしょう。

 

例題

それでは、例題を解いてみましょう（自分で解けそうな人はやってみましょう）。

問題

f:id:s-uchiyama:20181109202343j:plain

解答

(1) { \log_{6}{12} + \log_{6}{3} }

{ = \log_{6}{(12 \times 3)} }

{ = \log_{6}{36} }

{ = \log_{6}{6^2} }

{ = 2 \cdots }(答)

(2) { \log_{5}{15} - \log_{5}{75} }

{ = \log_{5}{ \dfrac{15}{75} } }

{ = \log_{5}{ \dfrac{1}{5} } }

{ = \log_{5}{5^{-1}} }

{ = -1 \cdots }(答)

(3) { \log_{3}{\sqrt[3]{6}} - \dfrac{1}{3} \log_{3}{2} }

{ = \log_{3}{\sqrt[3]{6}} - \log_{3}{\sqrt[3]{2}} }

{ = \log_{3}{\dfrac{ \sqrt[3]{6} }{ \sqrt[3]{2} }} }

{ = \log_{3}{ \sqrt[3]{3} } }

{ = \log_{3}{ 3^{\frac{1}{3} }} }

{ = \dfrac{1}{3} \cdots }(答)

(4) { 4 \log_{2}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{2} \log_{2}{3} - \log_{2}{ \dfrac{\sqrt{3}}{2}} }

{ = \log_{2}{2} + \log_{2}{\sqrt{3}} - \log_{2}{ \dfrac{ \sqrt{3} }{2} } }

{ = \log_{2}{ \left( 2 \times \sqrt{3} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right) }}

{ = \log_{2}{4} }

{ = \log_{2}{2^2} }

{ = 2 \cdots}(答)

 </p

(補足)公式の証明

④ { \log_{a}{M} + \log_{a}{N} = \log_{a}{MN} }

【証明】

{ \log_{a}{M} = p}　,　{ \log_{a}{N} = q }

とおくと

(左辺) { = p + q }

となるので

(右辺) { = p + q }

となることを示すことが目標です！

 

ここで、対数の定義より

{  \log_{a}{M} = p \Longleftrightarrow M = a^p }

{  \log_{a}{N} = q \Longleftrightarrow N = a^q }

なので、指数法則を使うと

{ MN = a^p \times a^q = a^{p+q} }

となります。

すると

(右辺){ = \log_{a}{a^{p+q}} }

{ = p+q }

となるので、(左辺){ = }(右辺) です。(証明終)

 

 

⑤ { \log_{a}{M} - \log_{a}{N} = \log_{a}{\dfrac{M}{N} }}

【証明】

流れは④と全く一緒です。

{ \log_{a}{M} = p  ,  \log_{a}{N} = q } とおくと

(左辺){ = p - q }

となります。

 

対数の定義より

{  \log_{a}{M} = p \Longleftrightarrow M = a^p }

{  \log_{a}{N} = q \Longleftrightarrow N = a^q }

なので、指数法則を使うと

{ \dfrac{M}{N} = a^p \div a^q = a^{p-q} }

となります。

すると

(右辺){ = \log_{a}{a^{p-q}} }

{ = p-q }

となるので、(左辺){ = }(右辺) です。（証明終）

 

今回はここまでです。

最後までお読みいただきありがとうございました！