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底の変換（対数関数）

Stage1 Stage1-14 指数関数・対数関数

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「底の変換」です！

 

底の変換

今回は対数の性質（その３）ということで、「底の変換」を勉強しましょう。

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これが「底の変換」と呼ばれる公式です。左辺の底は「{a}」、右辺の底は分母・分子ともに「{c}」です。{c} は底の条件「{ c \gt 0 }と{ c \ne 1}」を満たしていれば何でも良いので、この公式を使うことで、底を自分の好きなものに変えることが出来ます。

例えば

{ \log_{4}{3} = \dfrac{ \log_{2}{3} }{ \log_{2}{4}} = \dfrac{1}{2} \log_{2}{3} }

→ 底を4から2に変換した

（分母は { \log_{2}{4} = \log_{2}{2^2} = 2 }）

{ \log_{2}{3} = \dfrac{ \log_{10}{3} }{\log_{10}{2}} }

→ 底を2から10に変換した

{ \log_{5}{7} = \dfrac{ \log_{\sqrt{2}}{7}}{ \log_{\sqrt{2}}{5}} }

→ 底を5から{\sqrt{2}}に変換した

といった感じです。もちろん、何でもかんでも底を変えればよいというわけではなく、底を変換した結果、計算がラクになったり、その他メリットがある場合に底を変換します（なので、3番目の例は実用性があまりありませんね）。例えば、前回の「対数の加法・減法」では、底が同じ対数の場合は足し算・引き算が出来る、といいました。ですから

{ \log_{2}{3} + \log_{4}{3} = ?? }

は、底が違うので足し算が出来ません。そこで「底の変換」の登場です。底は何でも自分の好きなものに変えることが出来ますから、この問題も底を2に変換すれば

{ \log_{2}{3} + \log_{4}{3} }

{ = \log_{2}{3} + \dfrac{ \log_{2}{3} }{ \log_{2}{4} } }

{ = \log_{2}{3} + \dfrac{1}{2} \log_{2}{3} }

{ = \dfrac{3}{2} \log_{2}{3} \cdots}(答)

のように計算することが出来るようになります。

 

例題

それでは、例題を解いてみましょう（自分で解けそうな人はやってみましょう）。

問題

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解答

(1) {\log_{4}{8} }

{ = \dfrac{ \log_{2}{8} }{ \log_{2}{4} } }　←底を2に変換した

{ = \dfrac{ \log_{2}{2^3} }{ \log_{2}{2^2}} }

{ = \dfrac{3}{2} \cdots}(答)

 

(2) {\log_{27}{3} }

{ = \dfrac{ \log_{3}{3} }{ \log_{3}{27} } }　←底を3に変換した

{ = \dfrac{ 1 }{ \log_{3}{3^3}} }

{ = \dfrac{1}{3} \cdots}(答)

 

(3) 底を {2} にそろえると

{\log_{2}{3} \cdot \log_{3}{8} }

{ = \log_{2}{3} \cdot \dfrac{ \log_{2}{8} }{ \log_{2}{3} } }

{ = \log_{2}{3} \cdot \dfrac{3}{\log_{2}{3} }}

{ =3 \cdots}(答)

 

 今回はここまでです。

最後までお読みいただきありがとうございました！