対数関数のグラフ（対数関数）

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「対数関数のグラフ」です！

対数関数とは
対数関数のグラフ
対数関数の性質

対数関数とは

${ y =\log_2{x} }$ や ${ y = \log_{\frac{1}{2}} {x} }$ のように、 ${ y = \log_{a}{x} }$ の形の関数を対数関数（たいすうかんすう）といいます。

また、このときの ${a}$ のことを底（てい）、 ${x}$ のことを真数（しんすう）といいます。

底や真数には条件があり、

底の条件は ${ a \gt 0 }$ と ${ a \ne 1 }$

真数の条件は ${ x \gt 0 }$

です。

対数関数のグラフ

それでは、対数関数のグラフを考えましょう。例として、 ${ y = \log_{2}{x} }$ と ${ y=\log_{\frac{1}{2}}{x} }$ のグラフを考えてみます。

例１

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まず、 ${ y = \log_{2}{x} }$ のグラフは、上図のようにそれぞれの ${x}$ の値に対する ${y}$ の値を求めてみれば、ドンドン増えていくことがわかります。ですが、 ${x}$ が 16 になってようやく ${y}$ の値が 4 になることからもわかるように、増え方は緩やかであることがわかります。よって、対数関数 ${ y=\log_{2}{x} }$ のグラフは上図のようになります。グラフを描くときの注意点は次の2点です。

① ${ x=1 }$ のとき ${ y=\log_{2}{1} }$ なので、グラフは点 ${(1,0)}$ を通ります。

② 真数の条件より ${ x \gt 0 }$ なので、グラフは ${y}$ 軸よりも右側に現れます。つまり、グラフは ${y}$ 軸に触れることはありません（ ${y}$ 軸が漸近線である、という言い方をすることもあります）。

例２

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次に、 ${ y = \log_{\frac{1}{2}}{x} }$ のグラフも同じように考えていくと、 ${y}$ の値はドンドン(しかも緩やかに)減っていくことがわかります。よって、対数関数 ${ y=\log_{\frac{1}{2}}{x} }$ のグラフは上図のようになります。このときも、グラフを描くときの注意点は次の2点です。

① ${x=1}$ のとき ${ y=\log_{\frac{1}{2}}{1} = 0 }$ なので、グラフは点 ${(1,0)}$ を通ります。

② 真数の条件より ${ x \gt 0}$ なので、グラフは ${y}$ 軸に触れることはありません（ ${y}$ 軸が漸近線である、という言い方をすることもあります）。

対数関数のグラフのまとめ

ここまでの話から、対数関数 ${ y=\log_{a}{x} }$ のグラフは大きく分けて2種類あることがわかります。そしてそれは底の値によって決まり、底が1より大きいとき( ${ a \gt 1 }$ のとき)は、 ${ y = \log_{2}{x} }$ のグラフのようにドンドン増加するグラフ、底が1より小さいとき( ${ 0 \lt a \lt 1 }$ のとき)は、 ${ y = \log_{\frac{1}{2}}{x} }$ のグラフのようにドンドン減少するグラフになります。まとめると下図のようになります。