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対数の大小比較（対数関数）

Stage1 Stage1-14 指数関数・対数関数

こんにちは！

数学の部屋のうちやまです。

今回のテーマは「対数の大小比較」です！

 

「対数の大小比較」の解法のPOINT

今回の内容に入る前に、「対数関数のグラフ」で学習した「対数関数の性質」を復習しておきましょう。

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対数関数 { y = \log_{a}{x} } のグラフは

{ a \gt 1 } のときは増加

{ 0 \lt a \lt 1 } のときは減少

となることから、上図のような性質が成り立つことを学習しました。特に、{ 0 \lt a \lt 1 } のときは、真数の大小と全体の大小が逆になることに注意が必要でした。

 

今回のテーマ「対数の大小比較」は、この性質を利用します。

例えば { \log_{2}{3} } と { \log_{2}{5}} の大小を比較するときは、底がどちらも {2} でそろっていて、さらに { (底) \gt 1 } なので「真数の大小と全体の大小は同じ」です。よって、真数の部分（{3} と {5} ）を比べれば、{ \log_{2}{3}} の方が大きいことがわかります。

このように「対数の大小比較」の問題は、「底をそろえて真数の部分を比べる」ことで解くことが出来る、ということになります。繰り返しになりますが、{ 0 \lt (底) \lt 1 } のときは「真数の大小と全体の大小は逆」なので注意しましょう。

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例題

それでは、例題を解いてみましょう（自分で解けそうな人はやってみましょう）。

問題

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解答

(1)

・{ \log_{3}{2} }

・{ \log_{9}{6} }

{ = \dfrac{ \log_{3}{6}}{ \log_{3}{9}} }　←底を変換した

{ = \dfrac{1}{2} \log_{3}{6} }

{ = \log_{3}{6^{\frac{1}{2}}}}

{ = \log_{3}{\sqrt{6} }}

・{ \dfrac{1}{2} }

{ = \dfrac{1}{2} \log_{3}{3} }

{ = \log_{3}{3^{\frac{1}{2}}}}

{ = \log_{3}{\sqrt{3}}}

 

ここで { \sqrt{3} \lt 2 \lt \sqrt{6} } であり

底：{ 3 \gt 1 } であるから

{ \log_{3}{\sqrt{3}} \lt \log_{3}{2} \lt \log_{3}{\sqrt{6}} }

∴ {  \dfrac{1}{2} \lt \log_{3}{2}  \lt  \log_{9}{6} \cdots}(答)

 

(2)

・{ \log_{\frac{1}{2}}{3} }

・{ \log_{\frac{1}{4}}{5} }

{ = \dfrac{ \log_{\frac{1}{2}}{5}}{ \log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}} }　←底を変換した

{ = \dfrac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}}{5} }

{ = \log_{\frac{1}{2}}{5^{\frac{1}{2}}}}

{ = \log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{5} }}

・{ -2 }

{ = -2 \log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} }

{ = \log_{\frac{1}{2}}{ \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} } }

{ = \log_{\frac{1}{2}}{4} }　← { \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-2} = 2^2 }

 

ここで { \sqrt{5} \lt 3 \lt 4 } であり

底：{ 0 \lt \dfrac{1}{2} \gt 1 } であるから

{ \log_{\frac{1}{2}}{4} \lt \log_{\frac{1}{2}}{3} \lt \log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{5}} }

∴ {  -2 \lt \log_{\frac{1}{2}}{3}  \lt  \log_{\frac{1}{4}}{5} \cdots}(答)

 

解説

解法のPOINTに従って、底をそろえて指数を比べます。

(1) では { \dfrac{1}{2} }を { \log_3 } で表す、ということをやっています。これは詳しく書くと

{ \dfrac{1}{2} }

{ = \dfrac{1}{2} \times 1 }

{ = \dfrac{1}{2} \times \log_3{3} }

ということです。よく使う変形ですので、出来るように練習しておきましょう。

(2) は、底が { \frac{1}{2} } である点に注意しましょう。{ 0 \lt (底) \lt 1 } のときは、真数の大小と全体の大小が逆になります。

 

今回はここまでです。

最後までお読みいただきありがとうございました！